Les tours : une activité mathématique complexe

Cette situation d’apprentissage est issue du livre « Découvrir le monde avec les mathématiques » de Dominique Valentin. Elle s’adresse, avant tout, aux élèves de Moyenne Section (5 tours : phases 1 à 5) et de Grande Section de maternelle et se déroule en petit groupe.

Elle a deux principaux atouts. D’une part, elle permet de travailler à la fois le nombre, les relations spatiales, avec la notion de point de vue, et la logique. D’autre part, elle est évolutive et permet de passer progressivement du concret vers l’abstrait.

La description des étapes est librement inspirée de l’ouvrage de D. Valentin.

Les 5 tours alignées

Matériel

– 5 tours unicolores : une tour d’1 cube jaune, une tour de 2 cubes rouges, une tour de 3 cubes verts, une tour de 4 cubes oranges et une tour de 5 cubes bleus.
(Relier les cubes de chaque tour par des cylindres pour qu’ils deviennent solidaires les uns des autres et que la tour puisse être déplacée en un seul bloc)

Exemple de cubes:gros cubes

– une bande de papier de 7 cases aux dimensions des cubes (taille d’une case = taille d’une face d’un cube)

– un banc (ou une table) sur lequel on positionne la bande de papier et les cubes pour qu’ils soient à la hauteur des yeux des enfants

– étiquettes-nombres rouges de 1 à 5 (en deux exemplaires)

Retrouvez les bandes et quadrillages sur le site de l’Académie de Grenoble.

Phase 1 : Construire les tours

C’est une phase d’appropriation du matériel qui aboutira à la construction des 5 tours.
L’objectif est de faire comprendre que chaque tour est composée d’un cube de plus que la précédente, ce qui justifie l’ordre de la plus petite à la plus grande.

Phase 2 : Combien voit-on de tours ?

Les tours sont alignées dans un ordre aléatoire sur la bande de papier. A ce stade, la première case et la dernière case sont vides. Le matériel est positionné sur un banc ou une table, à hauteur des yeux des élèves qui se trouvent autour.

5 tours en vraie grandeursource: http://lagrandesectiondorange.over-blog.com/article-5-tours-alignees-101057089.html

« Combien voit-on de tours ? » Cette question va amener plusieurs réponses qui vont faire l’objet de la réflexion. Les élèves vont se déplacer, observer, échanger.

Deux objectifs :
– faire comprendre qu’un objet plus haut qu’un autre peut cacher ce dernier (plus haut = plus de cubes),
– faire comprendre qu’on ne voit pas le même nombre de tour selon l’endroit où l’on se trouve.

Phase 3 : Positionner les tours

But: placer les 5 tours en tenant compte du nombre de tours qui doivent être visibles à chaque extrémité de l’alignement.

Cette fois, la première case et la dernière case indiquent le nombre de tours que l’on veut voir (utiliser les étiquettes rouges ou un feutre effaçable si la bande est plastifiée).

Bande 5 tours

Les élèves procèdent par tâtonnements. Échange, vérification, bilan accompagnent chaque séance. Au fil du temps, des prises de conscience se font :
– le nombre 1 implique qu’on positionnera la tour de 5 étages à cette extrémité car elle cache toutes les autres.
– le nombre 5 implique qu’on positionnera les tours dans un ordre croissant pour qu’on puisse voir les 5 tours.
Ces prises de conscience amèneront petit à petit à davantage d’anticipation.

En faisant travailler deux équipes en parallèle avec les mêmes contraintes, les élèves prendront conscience que, pour certains problèmes, il existe plusieurs solutions.
On peut également demander à une même équipe de chercher plusieurs façons de positionner les tours pour une même consigne.

Phase 4 : Dessiner

Au cours de la phase 3, on peut inviter les élèves à dessiner, à leur manière, leur réalisation. Ce qui les conduira vers une première symbolisation.

Phase 5 : Transposer au format réduit

Matériel
5 tours construites de la même façon que les précédentes avec de petits cubes
– bande de papier dont les 7 cases sont aux dimensions des petits cubes

5 tourssource: http://lewebpedagogique.com/devanssay/tag/tours/

C’est la même situation mais cette fois-ci les cubes sont plus petits (2cm de côté). Cela modifie les conditions de réalisation de l’activité : les observations et les déplacements sont contraints. Cela conduit à une première mise à distance car le simple constat visuel se complique. L’utilisation de figurine pour symboliser la position de l’observateur peut être utile à l’enfant.

Phase 6 : Anticiper

Matériel
– idem phases précédentes
– 5 étiquettes-nombres noires de 1 à 5

Cette phase peut se dérouler avec les gros cubes puis avec les petits cubes.

Les étiquettes-nombres noires vont remplacer les tours. Les élèves vont donc se représenter mentalement les tours et les conséquences qu’induisent leur position. Ils se situent dans l’abstraction. Les tours serviront seulement à vérifier.

C’est une étape complexe qui nécessite que les élèves aient beaucoup manipulé lors des phases précédentes. L’enseignant peut apporter son aide en amenant l’élève à formuler ce qu’il se représente, à anticiper le résultat (cache ou ne cache pas) du positionnement des étiquettes.

Les 9 tours

Lorsque les enfants maîtrisent les phases de la situation précédente, il est alors possible d’aller plus loin en leur proposant la situation avec 9 tours positionnées sur un quadrillage comportant lignes et colonnes.

Matériel

– 3 tours de 3 cubes, 3 tours de 2 cubes, 3 tours de 1 cubes (petits cubes)

– quadrillage 3 x 3 vierge

– quadrillages avec les indications de nombre aux extrémités des lignes et colonnes

quadrillage 9 tours

– étiquettes-nombres rouges de 1 à 3 (4 exemplaires)

– étiquettes-nombres noires de 1 à 3 (3 exemplaires)

– patafix

– une figurine de la taille de la tour de 3 cubes

Retrouvez les bandes et quadrillages sur le site de l’Académie de Grenoble.

Phase 1 : à la manière du Sudoku

But : placer les 9 tours sur la grille de façon à ne pas avoir 2 tours de même hauteur sur la même ligne ou la même colonne.

Les enfants s’échangent leur construction pour se valider.

Phase 2 : Combien de tours voit-on ?

A partir d’une construction, l’élève prend un petit personnage et dit ce que celui-ci « voit » lorsqu’il se déplace tout autour du quadrillage. Il place une étiquette-nombre rouge à l’extrémité de la ligne ou de la colonne pour indiquer le nombre de tours visibles.

Dominique Valentin met en garde : « L’enseignant met bien en relief la différence entre le nombre d’étages de chaque tour et le nombre de tours visibles (c’est une grosse difficulté de la situation pour les enfants qui n’ont pas passé assez de temps pour la situation 5). »

Les enfants s’échangent leur construction pour se valider.

Phase 3 : Positionner les tours

But : Positionner les 9 tours en tenant compte des informations indiquées aux extrémités de chaque ligne et de chaque colonne.

9 tourssource: http://lewebpedagogique.com/devanssay/tag/tours/

L’élève procède par tâtonnements.
Au fil des séances, il acquerra des « certitudes » (devant le nombre 1, je positionne la plus haute tour) qui l’aideront à avancer dans son raisonnement.

C’est l’enseignant qui aide à la validation.

Les 16 tours

Quand un élève résout facilement les problèmes avec 9 tours, on peut lui proposer la même situation avec 16 tours sur un quadrillage 4 x 4. La recherche devient plus complexe.
Dans son ouvrage, Dominique Valentin propose 5 grilles différentes.

quadrillage 16 tours

Retrouvez les bandes et quadrillages sur le site de l’Académie de Grenoble.

Les compétences en jeu

Trois composantes mathématiques en jeu

– le nombre : le nombre de tours, le nombre d’étages de chaque tour, le nombre de tours qu’on voit, la relation d’ordre entre les tours

– les relations spatiales : les connecteurs (devant/derrière/en face/extrémité/au bout/côté), la notion de point de vue dans l’espace

– la logique : la prise en compte de plusieurs contraintes, l’anticipation, les hypothèses, les déductions

Situation évolutive

– de l’espace de la classe à l’espace de la feuille

– de 2 à 5 contraintes :

Les 5 tours : problème à une dimension, prise en compte de deux contraintes (les deux extrémités de la ligne)

Les 9 tours/ les 16 tours : problème à deux dimensions, prise en compte de 4 contraintes (les deux extrémités des lignes et les deux extrémités des colonnes) + la vérification qu’aucune tour de même hauteur soit sur la même ligne ou colonne

– passage du concret vers l’abstrait :

en vraie grandeur (gros cubes : constat perceptif), en format réduit (phase transitoire), en symbolisant avec les étiquettes (représentations mentales, anticipation)


Livre Dominique Valentin

 

Source: Découvrir le monde avec les mathématiques, Situations pour la Grande Section, Dominique Valentin 2005

 

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